MATEMATIKA: INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Assalamualaikum Wr.Wb

Nabillah Anjuni (24)

XI IPS 2

Pengertian Integral

$\int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1 }+ C$

Keterangan

$k$ : koefisien
$x$ : variabel
$n$ : pangkat/derajat dari variabel
$C$ : konstanta

Pengertian Integral secara sederhana yaitu invers (kebalikan) dari suatu turunan. Penjebaran lebih luasnya adalah sebuah konsep bentuk penjumlahan berkesinambungan dan bersama dengan inversnya.

Sifat Integral

Berikut ini beberapa sifat integral.

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) dx$

$\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

$\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx$

Jika $a<b<c$ , maka

$\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) + \int_b^c f(x)$

Harap dicatat ya sifat integral diatas, akan sangat memudahkan nantinya untuk mengerjakan soal.

Jenis Integral

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, terdapat 2 Jenis Integral, yaitu: Integral Tak Tentu dan Integral Tentu.

Integral Tentu

Jika fungsi f terdefinisi pada interval $[a,b]$ maka $\int_a^b f(x) \, dx$ disebut integral tertentu fungsi f dar a ke b. Dimana $f(x)$ disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas.

Integral Tentu ini memiliki perbedaan yaitu sudah memiliki nilai tertentu karena sudah ditentukan batasanya.

Teorema dasar kalkulus untuk integral tertentu dinyatak sebagai berikut.

Rumus

Berikut ini rumus Integral Tentu

$\int_{x=a}^{x=b} f(x) dx = \int F(b) - \int F(a) dx$

Keterangan

$f(x)$ = persamaan kurva
$C$ = konstanta
$F(b), F(a)$ : nilai integral untuk $x = b$ dan $x = a$

Sifat

Gunakanlah sifat dibawah ini untuk mempermudah pengerjaan soal nantinya ya.

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) dx$

$\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

$\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx$

$\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) + \int_b^c f(x)$

Mencari nilai integral

Dalam menncari suatu nilai integral. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan Subtitusi, Eksponensial, Parisal, dan Pecahan.

Substitusi

Beberapa kasus dalam integral dapat kita selesaikan apabila terdapat perkalian fungsi dengan salah satu fungsi merupakan turunan fungsi yang lain

Contoh Soal

Perhatian contoh soal dibawah ini. Bagaimana kita menyelesaikan suatu fungsi menggunakan metode subtitusi

$\int 4x^3(x^4-1)^4 \, dx = \int u^4 \, du$
$= \frac{1}{5}u^5$
Karena $u=x^4-1$
$\frac{1}{5}^5+C=\frac{1}{5}(x^4-1)^5+C$
Jadi,
$\int 4x^3(x^4-1)^4 \, dx =\frac{1}{5}(x^4-1)^5+C$

Integrasi parsial

Integral parsial bisa kita gunakan untuk menyelesaikan soal perkalian antar integral. Secara umum rumusnya seperti dibawah ini

Rumus

$\int U \, . \,dV = UV - \int V \, .\, dU$

Keterangan

$U, V$ = fungsi
$dU, dV$ = turunan dari fungsi $U$ dan turunan dari fungsi $V$

Contoh Soal

Berikut ini saya bagikan contoh soal beserta jawabannya.

$\int U \, . \,dV = UV - \int V \, .\, dU$
$\int x sin2x \, dx = x . - \frac{1}{2} cos 2x - \int \frac{1}{2} cos 2x$
$- \frac{1}{2} x cos 2x + \int \frac{1}{2} cos 2x$
$- \frac{1}{2} x cos 2x + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} sin 2x + C$
$- \frac{1}{2} x cos 2x + \frac{1}{4} sin 2x + C$

Eksponensial

Fungsi Eksponensial biasanya dilambangkan dengan $e^x$ . Berikut ini rumusnya.

Rumus

$\int e^x \, dx = e^x+C$
$\int e^(kx) \, dx = \frac{1}{k}e^x+C$
$\int k^x \, dx = \frac{k^x}{\ln k}+C$

Keterangan

$ex, ekx$ : fungsi eksponensial
$C$ : konstanta

Contoh Soal

Berikut ini saya bagikan contoh soal beserta jawabannya.

$\int (e^x)^-2 \, dx = ...$
Misal : $u=e^x$
Maka:
$du = e^x \, dx$
$du = u \, dx$
$\frac{1}{u}du=dx$
Jadi,
$\int (e^x)^{-2} \, dx$
$=\int (u)^{-2}.\frac{1}{u}du$
$=\int \frac{1}{u^2}.\frac{1}{u}du$
$=\int \frac{1}{u^3}du$
$=\int u^3 \, du$
$=- \frac{1}{2}u^2+c$
Jadi nilai $u$ adalah
$= -\frac{1}{2}(e^x)^{-2}+c$

Pecahan

Fungsi pecahan didefinisikan dengan $\frac{f(x)}{g(x)}$ . Prinsip penyelesaian dengan fungsi pecahan ini adalah memecah beberapa fungsi yang rumit/komplek menjadi lebih sederhana. Berikut ini contohnya

Contoh Soal

$\int \frac{1}{x^2-1}dx$

Integral tersebut bisa kita uraikan seperti ini.

$\int \frac{1}{x^2-1}dx = \int {1}{(x+1)(x-1)dx}$

Dari uraian sebelumnya, sekarang kita bisa menyederhanakannya lagi dengan memecahnya seperti ini.

$\frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}$

$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

$(A+B)x + B-A=1$

Sehingga kita dapatkan:

$B-A=1$ dan $A+B=0$

Hasil akhirnya $B=1/2$ dan $A=-1/2$

Tabel Integral

Gunakan tabel dibawah ini untuk mempermudah kamu dalam mengerjakan soal-soal integral ya.

Integral fungsi	Hasil integral
$\int \sin x \, dx$	$- \cos x$
$\int \cos x \, dx$	$\sin x + C$
$\int \tan x \, dx$	$\ln \|sec \, x\| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt(1-x^2)} x \, dx$	$\arc sin \, x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt(1+x^2)} x \, dx$	$\arc tan \, x + C$
$\int \frac{1}{2\sqrt(x^2)-1} x \, dx$	$\arc sec \, x + C$
$\int \sinh x \, dx$	$\cosh x + C$
$\int \sinh x \, dx$	$\sinh x + C$

Contoh Soal

Selesaikan Integral berikut ini.

Soal 1

$\int 8x^{3x} - 3x^{2x} + x + 5 \, dx$

Jawaban

$=\frac{8x^{3+1}}{3+1}-\frac{3x^{2+1}}{2+1}+\frac{1x^{1+1}}{1+1}+5x+c$

$=\frac{8x^{4}}{4}-\frac{3x^{3}}{3}+\frac{x^2}{2}+5x+c$

$=2x^4-x^3+\frac{1}{2}x^2+5x+c$

Soal 2

$\int (2x + 1) (x - 5) dx$

Jawaban

$\int 2x^2+x-10x-5+C$

$\int 2x^2+9x-5+C$

$\int \frac{2}{3}x^3+\frac{9}{2}x^2-5x+C$

Kesimpulan

Berikut ini kesimpulannya

Secara sederhana integral merupakan invers (kebalikan) dari operasi turunan.
Terdapat 2 jenis integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Beberapa cara untuk menyelesaikan kasus integral yaitu
- Integral pecahan
- Integral eksponensial
- Integral substitusi
- Integral parsial
Gunakanlah sifat-sifat integral untuk mempermudah pengerjaan soal integral

Buat kalian yang ingin soal lengkap mengenai Turunan Fungsi pada matapelajaran Matematika Bisa kunjungi tautan berikut ini .