SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

 NABILLAH ANJUNI (23)

XI IPS 2

MATEMATIKA

Soal

Dengan persediaan kain polos 20m dan kain bergaris 10, Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak ….

Dik 

Model 1 = kain polos 1m dan kain bergaris 1,5m

Model 2 = kain polos 2m dan kain bergaris 0,5m

Persediaan = kain polos 20 dan kain bergaris 10

Laba = model 1 tidak kurang dari Rp.15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

Dit 

Laba yang diperoleh Dewi adalah?

Jawab 

Model 1 (x)

Model 2 (y)

Membuat tabel dahulu

	Kain polos	Kain bergaris
Model 1 (x)	1x	1,5
Model 2 (y)	2y	0,5
Persediaan	20	10

x + 2y = 20 (kain polos)

untung 15.000

1,5 + 0,5 = 10 (kain bergaris)

untung 10.000

Persamaan kain polos dan bergaris kita substitusi dan eliminasi kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai x dan y.

Melakukan Eliminasi

  

Setelah persamaan tersebut diselesaikan dan sudah ditemukan maka langkah selanjutnya adalah, masukan hasil persamaan (x = 4 dan y = 8) ke dalam rumus untuk mecari laba

Jika sudah menghitung rumus laba, maka itu adalah hasil laba yang akan diperoleh Dewi Rp.140.000 

Soal cerita dan penyelesaiannya yang terkait dengan nilai optimum proram linear

01. Untuk memproduksi sepeda jenis A dengan harga jual Rp.600.000 suatu perusahaan membutuhkan biaya Rp. 200.000 dan waktu 20 jam. Sedangkan sepeda jenis B dengan harga jual Rp. 800.000 membutuhkan biaya Rp. 100.000 dengan waktu 30 jam. Jika dana yang tersedia Rp. 1.200.000 dan waktu kerja 240 jam per bulan, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan

Jawab :

Misalkan

x = banyaknya sepeda jenis A

y = banyaknya sepeda jenis B

maka dapat disusun kendala biaya dan waktu produksi sebagai berikut:

200000x + 100000y ≤ 1200000

20x + 30y ≤ 240

x ≥ 0

y ≥ 0

Jika disederhanakan menjadi :

2x + y ≤ 12

2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0  
y ≥ 0

Fungsi penjualan : f(x, y) = 600000x + 800000y

Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

 

Titik A koordinatnya adalah A(0, 8)

Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 12 maka 2x + 6 = 12, sehingga 2x = 6, jadi  x = 3

Jadi koordinat titik B adalah B(3, 6)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 600000x + 800000y, sehingga diperoleh :

A(0, 8) → f(A) = 600000(0) + 800000(8) = 6.400.000

B(6, 2) → f(B) = 600000(6) + 800000(2) = 5.200.000

C(3, 6) → f(C) = 600000(3) + 800000(6) = 6.600.000

Jadi hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan adalah Rp. 6.600.000

 02. Seorang anak diharuskan memakan dua jenis tablet tiap hari. Tablet pertama mengandung 2 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu memerlukan paling sedikit 12 unit vitamin A dan 8 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 500 perbutir dan tablet kedua Rp. 1.000 perbutir maka agar pengeluaran minimum banyak tablet pertama yang harus dibeli adalah …

Jawab :

Misalkan x = banyaknya tablet jenis pertama

y = banyaknya tablet jenis kedua

maka dapat disusun kendala kebutuhan vitamin A dan vitamin B sebagai berikut:

Dari tabel di atas dapat disusun kendala, yakni :

2x + 3y ≥ 12

2x + y ≥ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi pengeluaran f(x, y) = 500x + 1000y

Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 8)

Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 8 maka 2x + 2 = 8, sehingga 2x = 6 , x =3

Jadi koordinat titik B adalah B(3, 2)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 500x + 1000y, sehingga diperoleh :

A(0, 8) → f(A) = 500(0) + 1000(8) = 8.000

B(3, 2) → f(B) = 500(3) + 1000(2) = 3.500

C(6, 0) → f(C) = 500(6) + 1000(0) = 3.000

Jadi besarnya pengeluaran minimum Rp. 3.000 didapat jika dibeli 6 tablet pertama

03. Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang dapat menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia memiliki modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh laba perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B agar diperoleh laba maksimum ?

Jawab :

Misalkan

x = banyaknya minuman jenis A

y = banyaknya minuman jenis B

maka dapat disusun kendala modal dan kapasitas kios sebagai berikut:

x + y ≤ 500

2000x + 4000y ≤ 1.600.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Jika disederhanakan menjadi :

x + y ≤ 500

x + 2y ≤ 800

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi laba : f(x, y) = 800x + 600y

Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 400)

Titik C koordinatnya adalah C(500, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena x + y = 500 maka x + 300 = 500, sehingga x = 200

Jadi koordinat titik B adalah B(200, 300)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :

A(0, 400)     → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000

B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000

C(500, 0)     → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000

Jadi keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh jika dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol

Kesimpulan :

Kalau daerah kotor, maka himpunan penyelesaian adalah daerah yang mengalami banyak arsiran, sedangkan bila menggunakan daerah bersih maka daerah penyelesaian adalah daerah yang tidak terkena arsiran.