MATEMATIKA: Juli 2020

Nabillah Anjuni (23) XI IPS 2

-Metoda Pembuktian-

Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru.

contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i 2 = -1. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika.

1. Bukti langsung

Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p⇒q.

Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p⇒q benar dimana diketahui p benar.

Contoh Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x 2 bilangan ganjil.

Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x 2 = (2n - 1)2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2 (2n 2 + 2) +1 = 2m + 1: m

Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x 2 ganjil.

2. Bukti taklangsung

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p⇒q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ¬ q⇒ ¬ p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.

Misal ingin dibuktikan bahwa p benar. Temukan suatu kontradiksi q sehingga –p à q bernilai benar. Karena q salah, tapi –p à q benar, maka pasti –p salah. Itu artinya p pasti benar. Masalahnya adalah menemukan kontradiksi q.

Karena pernyataan r Ù -r suatu kontradiksi, untuk setiap pernyataan r, maka dapat dibuktikan bahwa p selalu benar jika dapat ditunjukkan bahwa –p à (r Ù -r) benar untuk suatu pernyataan r. Onggo Wr - Matematika Informatika 3 10

Contoh Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.

Jawab Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama” Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari. Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu. Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari. Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p à (r Ù -r). Artinya p bernilai

3. Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Pernyataan atau kalimat

1. Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh logika matematika:

$p(x): 3x+1 > 6, x \in \mathbb{R}$

Saat $x = 1$ , maka $p(1): 3(1) + 1 > 6$ bernilai salah
Saat $x = 2$ , maka $p(2): 3(2) + 1 > 6$ bernilai benar

2. Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh:
“5 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar adalah “5 adalah bilangan ganjil”.

Ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi adalah kebalikan nilai dari suatu pernyataan, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan $p$ dilambangkan dengan $\sim p$ .

kebenaran ingkaran:

*B = pernyataan bernilai benar

*S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:

p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).

Contoh lain:

p: Semua unggas adalah burung.
~p: Ada unggas yang bukan burung.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita seringkali menemui orang menggunakan pernyataan negasi atas pernyataan orang lain… yang berujung pada pertengkaran.

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Dalam logika matematika, beberapa pernyataan dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika. Pernyataan gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing memiliki lambang dan istilah sendiri.

konjungsi (^)

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.

Tabel nilai kebenaran konjungsi):

bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.

Contoh:

p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)

Disjungsi (V)

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi:

Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)

Implikasi (->)

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”.

Tabel nilai kebenaran implikasi:

bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.

Contoh:

p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)

Biimplikasi (<->)

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:

bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “ $\equiv$ “.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran Konjungsi: $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$

Ingkaran Disjungsi: $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$

Ingkaran Implikasi: $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$

Ingkaran Biimplikasi: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers adalah balikan dari pernyataan implikasi.

Invers adalah negasi dari pernyataan implikasi.

Kontraposisi adalah balikan dan negasi dari pernyataan implikasi.

Dari implikasi p → q (dibaca : jika p maka q) dapat dibuat pernyataan :

Konvers = q → p
Invers = ~p → ~q
Kontraposisi = ~q → ~p

Nilai kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi dari Implikasi:

p	q	Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
		p=>q	q=>p	~p=>~q	~q=>~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

Dari tabel diatas diketahui Implikasi ekuvalen dengan kontra posisi atau biasa ditulis dengan

p=>q≡ ~q=>~p

Contoh:

Implikasi: Jika hati tenang maka kita senang.
Konvers: Jika kita senang maka hati tenang.
Invers: jika hati tidak tenang maka kita tidak senang
Kontraposisi: Jika kita tidak senang maka hati tidak tenang.

Contoh :

Jika Messi diturunkan, maka Barcelona menang.

Buatlah kalimat di atas menjadi pernyataan konvers, invers, dan kontraposisi.

Jawab :

p → q : Jika Messi diturunkan, maka Barcelona menang.

Konvers = Jika Barcelona menang, maka Messi diturunkan.
Invers = Jika Messi tidak diturunkan, maka Barcelona tidak menang.
Kontraposisi = Jika Barcelona tidak menang, maka Messi tidak diturunkan.

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p$

Invers dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim p \Rightarrow \sim q$

Kontraposisi dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim q \Rightarrow \sim p$

Perhatikan pernyataan berikut:
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!

Pembahasan
Dari implikasi p → q

p : Cuaca mendung
q : Charli membawa payung

Konversnya adalah q → p
yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung"

Inversnya adalah ~p → ~q
yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung"

Kontraposisinya adalah ~q → ~p
yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"

Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

Pernyataan Berkuantor

Terdapat dua macam kuantor, yakni kuantor universal dan kuantor eksistensial.

(1) Kuantor universal
Simbol :
∀x ϵ S , P(x)
Dibaca :Untuk setiap x anggota S berlaku P(x)
(2) Kuantor Eksitensial
Simbol :
Ǝx ϵ S , P(x)

Dibaca :terdapat x anggota S berlaku P(x)

contoh soal :

01. Tentukanlah nilai kebenaran untuk setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
(a) Untuk setiap x bilangan positip berlaku 2x – 6 adalah bilangan positip
(b) Untuk setiap x bilangan prima berlaku x + 1 adalah bilangan genap
(c) Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki
(d) Terdapat x dan y bilangan bulat sehingga berlaku x + y habis dibagi 3
(e) Semua ikan di laut bernapas dengan insang
(f) Ada balok yang bersisi delapan

Jawab :
(a) Pernyataan salah
Karena kalau x = 1 maka tidak memenuhi 2x – 6 bilangan positip
(b) Pernyataan salah
Karena kalau x = 2 maka tidak memenuhi x + 1 bilangan genap

(c) Pernyataan Benar
Karena pada segitiga sama sisi pasti terdapat dua sisi yang sama panjang
(d) Pernyataan Benar
Karena jika x = 5 dan y = 7, maka x + y habis dibagi 3
(e) Pernyataan Salah
Karena ada ikan yang bernapas dengan paru-paru, yakni ikan paus
(f) Pernyataan Salah
Karena semua balok bersisi enam.

Negasi dari pernyataan berkuantor

Kuantor universal : ∀x ϵ S P(x) negasinya Ǝx ϵ S , –P(x)
Dalam bentuk kalimat, ditulis :
Untuk sembarang x anggota S berlaku P(x) negasinya : terdapat x anggota S sehingga berlaku tidak benar bahwa P(x)

Kuantor eksistensial : Ǝx ϵ S P(x) negasinya ∀x ϵ S , –P(x)
Dalam bentuk kalimat, ditulis :
terdapat x anggota S sehingga berlaku P(x) negasinya : Untuk sembarang x anggota S berlaku tidak benar bahwa P(x)

contoh soal :
02. Tentukanlah negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
(a) Semua bola bentuknya bulat
(b) Semua bilangan prima tidak habis dibagi 4
(c) Ada siswa SMAN 2 Bengkulu yang tidak lulus ujian nasional
(d) Ada hewan berkaki empat yang berkembang biak dengan bertelur

Jawab :
(a) Semua bola bentuknya bulat
Negasinya : Ada bola yang bentuknya tidak bulat
(b) Semua bilangan prima tidak habis dibagi 4
Negasinya : Ada bilangan prima yang habis dibagi 4
(c) Ada siswa SMAN 2 Bengkulu yang tidak lulus ujian nasional
Negasinya : Semua siswa SMAN 2 Bengkulu lulus ujian nasional
(d) Beberapa hewan berkaki empat berkembang biak dengan bertelur
Negasinya : Semua hewan berkaki empat tidak berkembang biak dengan bertelur

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

Contoh soal :

Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

Pembahasan :

Modus Ponens
p → q
p
________
∴ q

Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
p q

Budi rajin berolahraga
p

Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat

Contoh soal :

Tentukan kesimpulan dari :Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola.Premis 2 : Budi tidak bermain bola.
Pembahasanp : Hari cerahq : Budi bermain bola
Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollensp → q~q_______∴ ~p
Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah "

Contoh Soal Logika Matematika:

Soal 1
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2 : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : $\sim q$
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Soal 3
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2 : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               : $p \Rightarrow q$
Premis 2               : $q \Rightarrow r$
Kesimpulan          : $p \Rightarrow r$ (silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

Soal 4

Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

adversitemens

a. Kemarin Jogja hujan.

b. Mita anak pintar.

c. Penyu memiliki sayap.

d. Guru SMA N 2 menggunakan batik pada hari Jum’at.

Penyelesaian :

Negasi merupakan ingkaran dari sebuah pernyataan atau hal yang bertolak belakang dengan pernyataan tersebut. maka negasi dari pernyataan-pernyataan diatas yaitu :

a. Tidak benar bahwa kemarin Jogja hujan.

b. Tidak benar bahwa Mita anak pintar.

c. Tidak benar bahwa penyu memiliki sayap.

d. Tidak benar bahwa guru SMA N 2 menggunakan batik pada hari Jum’at.

Atau dapat juga diubah menjadi seperti berikut ini :

a. Kemarin Jogja tidak hujan.

b. Mita bukan anak pintar.

c. Penyu tidak memiliki sayap.

d. Guru SMA N 2 tidak menggunakan batik pada hari Jum’at.

Soal 5

Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini.

a. p = Semua pegawai menggunakan seragam abu-abu pada hari Kamis.

b. p = Semua murid melaksanaan ulangan semester hari ini.

c. p = Semua jenis ikan bernafas menggunakan insang.

Penyelesaian :

Dalam negasi, kata-kata semua/setiap diganti dengan beberapa/ada. Sehingga pernyataan diatas menjadi :

a. ∼p = Ada pegawai yang tidak menggunakan seragam abu-abu pada hari Kamis.

b. ∼p = Beberapa murid ada yang tidak melaksanakan ulangan semester hari ini.

c. ∼p = Beberapa jenis ikan tidak bernafas menggunakan insang.

Soal 6

Ubahlah pasangan pernyataan dibawah ini menjadi pernyataan majemuk dengan operasi dan.

a. p = Hari ini Jakarta cerah.

q = Hari ini Jakarta udaranya sejuk.

b. p = Bagas mengenakan baju abu-abu.

q = Bagas mengenakan topi merah.

c. p = Rezky pintar dalam pelajaran matematika.

q = Rezky pintar dalam pelajaran bahasa inggris.

Penyelesaian :

a. p∧q = Hari ini Jakarta cerah dan udaranya sejuk.

b. p∧q = Bagas mengenakan baju abu-abu dan topi merah.

c. p∧q = Rezky pintar dalam pelajaran matematika dan bahasa inggris.

Soal 7

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut ini :

p = Hari ini Putra pergi ke toko buku.

q = Hari ini Putra pergi ke supermarket.

tentukanlah :

a. p∧q

b. p∧∼q

c. ∼p∧d

d. ∼p∧∼q

Penyelesaian :

a. Hari ini Putra pergi ke toko buku dan supermarket.

b. Hari ini Putra pergi ke toko buku dan tidak ke supermarket.

c. Hari ini Putra tidak pergi ke toko buku tetapi ke supermarket.

d. Hari ini Putra tidak pergi ke toko buku dan tidak ke supermarket.

Soal 8

Gabungankanlah beberapa pasangan pernyataan dibawah ini menggunakan operasi disjungsi (atau).

a. p : Ibu belanja ke pasar.

q : Ibu memasak nasi.

b. p : Pak Dodi mengajar Matematika.

q : Pak Dodi mengajar Fisika.

Penyelesaian :

a. p∨q : Ibu belanja ke pasar atau memasak nasi.

b. p∨q : Pak Dodi mengajar Matematika atau Fisika.

Soal 9

Tentukanlah konvers, invers serta kontraposisi dari pernyataan dibawah ini.

Jika hari ini hujan maka bagus mengendarai mobil.

Penyelesaian :

Pernyataan diatas merupakan implikasi p→q, sehingga :

p : hari ini hujan

q : Bagus mengendarai mobil

konvers dari pernyataan tersebut yaitu q→p : jika Bagus mengendarai mobil maka hari ini hujan.

Invers dari pernyataan tersebut yaitu ∼p → ∼q : Jika hari ini tidak hujan maka Bagus tidak mengendarai mobil.

kontraposisi dari pernyataan tersebut yaitu ∼q → ∼p : Jika Bagus tidak mengendarai mobil maka hari ini tidak hujan.

Soal 10

Tentukanlah kesimpulan dari premis berikut ini.

premis 1 : Jika Pandu rajin belajar maka lulus ujian.

premis 2 : Jika Pandu lulus ujian maka masuk universitas.

Penyelesaian :

Mari kita gunakan prinsip silogisme

p→q

q→r

_____

∴ p→r

Sehingga kesimpulannya yaitu jika Pandu rajin belajar maka ia masuk universitas.

Soal 11

Tentukanlah kesimpulan dari dua buah premis berikut ini.

premis 1 : jika harga BBM turun maka harga bawang putih turun.

premis 2 : harga bawang putih tidak turun.

Penyelesaian :

p : harga BBM turun

q : harga bawang putih turun

kita simpulkan dengan menggunakan modus tollens

p→q

∼q

____

∴ ∼p

sehingga kesimpulan dari premis diatas yaitu harga BBM tidak naik.

TERIMA KASIH~

MATEMATIKA

Minggu, 26 Juli 2020

PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Minggu, 12 Juli 2020

LOGIKA MATEMATIKA

Ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan