PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

 Nabillah Anjuni (23) XI IPS 2

-Metoda Pembuktian-

Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru.

contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i 2 = -1. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika. 

1. Bukti langsung 

Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p⇒q. 

Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p⇒q benar dimana diketahui p benar.

Contoh Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x 2 bilangan ganjil.

Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x 2 = (2n - 1)2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2 (2n 2 + 2) +1 = 2m + 1: m 

Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x 2 ganjil. 

2. Bukti taklangsung 

Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p⇒q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ¬ q⇒ ¬ p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya. 

Misal ingin dibuktikan bahwa p benar. Temukan suatu kontradiksi q sehingga –p à q bernilai benar. Karena q salah, tapi –p à q benar, maka pasti –p salah. Itu artinya p pasti benar. Masalahnya adalah menemukan kontradiksi q.

Karena pernyataan r Ù -r suatu kontradiksi, untuk setiap pernyataan r, maka dapat dibuktikan bahwa p selalu benar jika dapat ditunjukkan bahwa –p à (r Ù -r) benar untuk suatu pernyataan r. Onggo Wr - Matematika Informatika 3 10

Contoh Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.

Jawab Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama” Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari. Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu. Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari. Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p à (r Ù -r). Artinya p bernilai 

3. Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  kedalam pernyataan P(k).